Cho \(d:\,\,x - 2y + 2 = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \sqrt {{{\left( {x - 3}

Câu hỏi số 354054:

Vận dụng cao

Cho \(d:\,\,x - 2y + 2 = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(T = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} \).

A. \(6\)

B. \(5\)

C. \(4\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:354054

Phương pháp giải

+ Gọi \(M\left( {x;y} \right) \Rightarrow M \in \left( d \right):\,\,x - 2y + 2 = 0\).

+ Gọi \(A\left( {3;5} \right)\) và \(B\left( {5;7} \right)\), khi đó ta có \(T = MA + MB\) với \(M \in d\).

+ Gọi \(A' = \) Đ\(_d\left( A \right)\), ta có \(MA' = MA \Rightarrow MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \Rightarrow M \in \left( d \right):\,\,x - 2y + 2 = 0\).

Gọi \(A\left( {3;5} \right)\) và \(B\left( {5;7} \right)\), khi đó ta có \(T = MA + MB\) với \(M \in d\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( A \right) = 3 - 2.5 + 2 = - 4 < 0\\P\left( B \right) = 5 - 2.7 + 2 = - 7 < 0\end{array} \right. \Rightarrow A,\,\,B\) cùng phía so với đường thẳng \(d\).

+ Gọi \(A' = \) Đ\(_d\left( A \right)\), sử dụng công thức giải nhanh ta có: \(A' = A - 2nT\)

với \(T = \dfrac{{x - 2y + 2}}{{{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{3 - 2.5 + 2}}{5} = - 1\)

\( \Rightarrow A'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 3 - 2.1.\left( { - 1} \right) = 5\\y' = 5 - 2.\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {5;1} \right)\).

+ Ta có \(MA' = MA \Rightarrow MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M,\,\,A',\,\,B\) thẳng hàng \( \Rightarrow M = A'B \cap d\).

Khi đó \({T_{\min }} = A'B = \sqrt {{{\left( {5 - 5} \right)}^2} + {{\left( {7 - 1} \right)}^2}} = 6\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.