Cho \(A\left( {2;1} \right)\). Tìm điểm \(B\) trên trục hoành và điểm \(C\) trên đường phân giác
Cho \(A\left( {2;1} \right)\). Tìm điểm \(B\) trên trục hoành và điểm \(C\) trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất để chu vi tam giác \(ABC\) nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(B',\,\,C'\) lần lượt là ảnh của \(A\) qua phép đối xứng trục \(Ox,\,\,\,y=x\,\,\left( d \right)\), khi đó \(B'\left( 2;-1 \right)\).
Tìm \(C'\).
+ Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\Rightarrow \Delta :\,\,x+y+c=0\).
Thay \(A\left( 2;1 \right)\Rightarrow 2+1+c=0\Leftrightarrow c=-3\Rightarrow \Delta :\,\,x+y-3=0\).
+ Gọi \(H = d \cap \Delta \Rightarrow \) Tọa độ của \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \matrix{x - y = 0 \hfill \cr x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = {3 \over 2} \hfill \cr y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left( {{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\)
+ Đ\(_{d}\left( A \right)=C'\Rightarrow H\) là trung điểm của \(AC' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = 2{x_H} - {x_A} = 1\\{y_{C'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2\end{array} \right. \Rightarrow C'\left( {1;2} \right)\).
Theo tính chất đối xứng ta có \(AB=BB';\,\,AC=CC'\).
Khi đó chu vi tam giác \(ABC\) là \({{C}_{ABC}}=AB+BC+AC=BB'+BC+CC'\ge B'C'\).
Có \(B'C' = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \).
Vậy \({{C}_{ABC}}\ge \sqrt{10}\Rightarrow {{C}_{ABC\,\,\min }}=\sqrt{10}\).
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{B = B'C' \cap Ox \hfill \cr C = B'C' \cap d \hfill \cr} \right.\).
Phương trình \(B'C':\,\,\dfrac{x-2}{1-2}=\dfrac{y+1}{2+1}\Leftrightarrow 3x-6=-y-1\Leftrightarrow 3x+y-5=0\).
Tọa độ điểm \(B'\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \matrix{3x + y - 5 = 0 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = {5 \over 3} \hfill \cr y = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow C'\left( {{5 \over 3};0} \right)\).
Tọa độ điểm \(C'\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 5 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{4}\\y = \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Rightarrow C'\left( {\dfrac{5}{4};\dfrac{5}{4}} \right)\)
Vậy \(B'\left( \dfrac{5}{3};0 \right)\) và \(C'\left( \dfrac{5}{4};\dfrac{5}{4} \right)\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
