Giải phương trình \({\cos ^3}x - {\sin ^3}x = - 1\).

Câu hỏi số 356476:

Thông hiểu

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = - \pi + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k3\pi \\x = - \pi + k3\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k7\pi \\x = - \pi + k7\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356476

Phương pháp giải

- Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\).

- Đặt \(t = \cos x - \sin x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Giải chi tiết

\({\cos ^3}x - {\sin ^3}x = - 1 \Leftrightarrow {\left( {\cos x - \sin x} \right)^3} + 3\sin x\cos x\left( {\cos x - \sin x} \right) = - 1\)

Đặt \(t = \cos x - \sin x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành

\({t^3} + \dfrac{3}{2}\left( {1 - {t^2}} \right)t = - 1 \Leftrightarrow 2{t^3} + 3t - 3{t^3} = - 1 \Leftrightarrow {t^3} - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = - 1 \Rightarrow \cos x - \sin x = - 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi = \pi - 2\pi + m2\pi = - \pi + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.