Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin x\cos x + \left| {\sin x + \cos x} \right| = 1\) trên \(\left(

Câu hỏi số 356477:

Thông hiểu

Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin x\cos x + \left| {\sin x + \cos x} \right| = 1\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) bằng:

A. \(\pi \)

B. \(2\pi \)

C. \(3\pi \)

D. \(4\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356477

Phương pháp giải

Đặt \(t = \left| {\sin x + \cos x} \right|\,\,\left( {0 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), suy ra \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \left| {\sin x + \cos x} \right|\,\,\left( {0 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), suy ra \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Phương trình trở thành: \(\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} + t = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Với \(t = 1\), ta được \(\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) ta có: \(0 < \dfrac{{k\pi }}{2} < 2\pi \Leftrightarrow 0 < \dfrac{k}{2} < 2 \Leftrightarrow 0 < k < 4\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\dfrac{\pi }{2} + \pi + \dfrac{{3\pi }}{2} = 3\pi \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.