Số nghiệm của phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1\) trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\)

Câu hỏi số 357687:

Vận dụng

Số nghiệm của phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1\) trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) là:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357687

Phương pháp giải

Phương pháp giải phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\): Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

+ Xét họ nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Cho \( - \pi < x < \pi \) ta có \( - \pi < - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - 1 \le - \dfrac{1}{6} + 2k \le 1 \Leftrightarrow - \dfrac{5}{{12}} < k < \dfrac{7}{{12}}\).

Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{6}\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Cho \( - \pi < x < \pi \) ta có \( - \pi < - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - 1 \le - \dfrac{1}{2} + 2k < 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{4} < k < \dfrac{3}{4}\).

Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2}\).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.