Tìm \(m\) để phương trình \(4\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right)

Câu hỏi số 357696:

Vận dụng cao

Tìm \(m\) để phương trình \(4\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = {m^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\) có nghiệm?

A. \( - 1 \le m \le 1\)

B. \( - 2 \le m \le 2\)

C. \( - \dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{1}{2}\)

D. \( - 3 \le m \le 3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357696

Phương pháp giải

+ Sử dụng công thức \(\sin x = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\).

+ Sử dụng công thức hạ bậc.

+ Đánh giá.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}4\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = {m^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\ \Leftrightarrow 4\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right)\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = {m^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) = {m^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 + \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right)} \right) = {m^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 + \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right) = {m^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\ \Leftrightarrow 2 + \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x = {m^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x + 2 = {m^2}\end{array}\)

Ta có \( - 1 \le \cos 2x \le 1\,\,\forall x \Leftrightarrow - 2 \le 2\cos 2x \le 2\,\,\forall x \Leftrightarrow 0 \le 2\cos 2x + 2 \le 4\,\,\forall x\).

Do đó phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le m \le \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.