Để phương trình \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = a\left| {\sin 2x} \right|\) có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số \(a\) là:

Câu 357695: Để phương trình \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = a\left| {\sin 2x} \right|\) có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số \(a\) là:

A. \(0 \le a < \dfrac{1}{8}\)

B. \(\dfrac{1}{8} < a < \dfrac{3}{8}\)

C. \(a < \dfrac{1}{4}\)

D. \(a \ge \dfrac{1}{4}\)

Câu hỏi : 357695

Phương pháp giải:

+ Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x\).

+ Đặt \(t = \left| {\sin 2x} \right| \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\), đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

+ Sử dụng biệt thức \(\Delta \) để tìm nghiệm \(t\), từ đó tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Đáp án : D
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có

\(\begin{array}{l}{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\end{array}\)

Phương trình trở thành \(1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x = a\left| {\sin 2x} \right| \Leftrightarrow 3{\sin ^2}2x + 4a\left| {\sin 2x} \right| - 4 = 0\).

Đặt \(t = \left| {\sin 2x} \right| \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\), khi đó \(pt \Leftrightarrow 3{t^2} + 4at - 4 = 0\).

Ta có \(\Delta ' = 4{a^2} + 12 > 0\,\,\forall a \Rightarrow \) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3}\\{t_2} = \dfrac{{ - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3}\end{array} \right.\).

Phương trình ban đầu có nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} \in \left[ {0;1} \right]\\{t_2} \in \left[ {0;1} \right]\end{array} \right.\).

TH1: \({t_1} \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{{ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} \le 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} \ge 0\\ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4{a^2} + 12} \ge 2a\\\sqrt {4{a^2} + 12} \le 2a + 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2a < 0\\\left\{ \begin{array}{l}2a \ge 0\\4{a^2} + 12 \ge 4{a^2}\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2a + 3 \ge 0\\4{a^2} + 12 \le 4{a^2} + 12a + 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a < 0\\a \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ge - \dfrac{3}{2}\\a \ge \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ge \dfrac{1}{4}\end{array}\)

TH2: \({t_2} \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{{ - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} \le 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} \ge 0\\ - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4{a^2} + 12} \le - 2a\\\sqrt {4{a^2} + 12} \ge - 2a - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 2a \ge 0\\4{a^2} + 12 \le 4{a^2}\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\\\sqrt {4{a^2} + 12} \ge - 2a - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow Vo\,\,nghiem\end{array}\)

Vậy \(a \ge \dfrac{1}{4}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.