Để phương trình \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = a\left| {\sin 2x} \right|\) có nghiệm, điều kiện thích hợp

Câu hỏi số 357695:

Vận dụng cao

Để phương trình \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = a\left| {\sin 2x} \right|\) có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số \(a\) là:

A. \(0 \le a < \dfrac{1}{8}\)

B. \(\dfrac{1}{8} < a < \dfrac{3}{8}\)

C. \(a < \dfrac{1}{4}\)

D. \(a \ge \dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357695

Phương pháp giải

+ Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x\).

+ Đặt \(t = \left| {\sin 2x} \right| \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\), đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

+ Sử dụng biệt thức \(\Delta \) để tìm nghiệm \(t\), từ đó tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\end{array}\)

Phương trình trở thành \(1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x = a\left| {\sin 2x} \right| \Leftrightarrow 3{\sin ^2}2x + 4a\left| {\sin 2x} \right| - 4 = 0\).

Đặt \(t = \left| {\sin 2x} \right| \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\), khi đó \(pt \Leftrightarrow 3{t^2} + 4at - 4 = 0\).

Ta có \(\Delta ' = 4{a^2} + 12 > 0\,\,\forall a \Rightarrow \) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3}\\{t_2} = \dfrac{{ - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3}\end{array} \right.\).

Phương trình ban đầu có nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} \in \left[ {0;1} \right]\\{t_2} \in \left[ {0;1} \right]\end{array} \right.\).

TH1: \({t_1} \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{{ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} \le 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} \ge 0\\ - 2a + \sqrt {4{a^2} + 12} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4{a^2} + 12} \ge 2a\\\sqrt {4{a^2} + 12} \le 2a + 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2a < 0\\\left\{ \begin{array}{l}2a \ge 0\\4{a^2} + 12 \ge 4{a^2}\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2a + 3 \ge 0\\4{a^2} + 12 \le 4{a^2} + 12a + 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a < 0\\a \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ge - \dfrac{3}{2}\\a \ge \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ge \dfrac{1}{4}\end{array}\)

TH2: \({t_2} \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{{ - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} }}{3} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} \le 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} \ge 0\\ - 2a - \sqrt {4{a^2} + 12} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4{a^2} + 12} \le - 2a\\\sqrt {4{a^2} + 12} \ge - 2a - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 2a \ge 0\\4{a^2} + 12 \le 4{a^2}\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\\\sqrt {4{a^2} + 12} \ge - 2a - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow Vo\,\,nghiem\end{array}\)

Vậy \(a \ge \dfrac{1}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.