Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (9x + y)(9y + z)(z

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 35930:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (9x + y)(9y + z)(z - $\sqrt{zx}$ + x)

A. Min A = $\frac{7^{3}}{4}$ ⇔ x = $\frac{2}{3}$ , y = 1; z = $\frac{3}{2}$

B. Min A = $\frac{7^{3}}{4}$ ⇔ x = 1, y =1, z = $\frac{3}{2}$

C. Min A = $\frac{7^{3}}{4}$ ⇔ x = $\frac{2}{3}$ , y = 1, z = 0

D. Min A = 1 ⇔ x = $\frac{2}{3}$ , y =1; z = $\frac{3}{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:35930

Giải chi tiết

Do xyz = 1 nên

A = $\frac{(9x+y)(9y+z)(z-\sqrt{xz}+x)}{xyz}$ = (9 + $\frac{y}{x}$ )(9 + $\frac{z}{y}$ )(1- $\sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z}$ )

= (9²+ 9 $(\frac{y}{x} + \frac{z}{y} )+ \frac{z}{x}$ )(1 - $\sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z}$ ) ≥ (9²+ 9.2. $\sqrt{\frac{z}{x}} + \frac{z}{x}$ ).

(1 - $\sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z}$ )

= $(9+\sqrt{\frac{z}{x}})^{2}$ .(1- $\sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z}$ ) do 1- $\sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z}$ > 0

Đặt t = $\sqrt{\frac{z}{x}}$ , t > 0 thì A ≥ f(t) = (9 + t)² (1 - $\frac{1}{t}+ \frac{1}{t^{2}}$ ) > 0

f'(t) = 2(9 + t)(1- $\frac{1}{t}+ \frac{1}{t^{2}}$ ) + (9 + t)² ( $\frac{1}{t^{2}} - \frac{2}{t^{3}}$ )

= $(\frac{9+ t}{t^{3}})$ (2t³- t² + 9t - 18) = $(\frac{9+t}{t^{3}})$ (2t - 3)(t²+ t + 6)

f'(t) = 0 ⇔ t = $\frac{3}{2}$

Lập BBT của f(t) trên khoảng (0;+∞) suy ra $min_{(0;+\infty )}$ f(t)= $\frac{7^{3}}{4}$

Do đó A ≥ $\frac{7^{3}}{4}$ ,

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = $\frac{2}{3}$ , y = 1; z = $\frac{3}{2}$

Vậy min A = $\frac{7^{3}}{4}$ ⇔ x = $\frac{2}{3}$ , y = 1, z = $\frac{3}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.