Giải phương trình log2 = 1 + x

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Phương trình, Bất PT và hệ PT đại số

Câu hỏi số 3605:

Giải phương trình log₂ $\frac{2^{x}-1}{|x|}$ = 1 + x - 2^x

A. x = 1

B. x = 3

C. x = 4

D. x = 5

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3605

Giải chi tiết

Giải phương trình log₂ $\frac{2^{x}-1}{|x|}$ = 1 + x - 2^x (*)

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} 2^{x}-1\\x\neq 0 \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} 2^{x}> 1=2^{0}\\x\neq 0 \end{matrix}\right.$ ⇔ x > 0

(*) ⇔ log₂ $\frac{2^{x}-1}{|x|}$ = 1 - 2^x + x và x > 0

⇔ log₂ ( 2^x -1) - log₂ x = 1 - 2^x + x và x > 0

⇔ ( 2^x -1) + log₂ ( 2^x -1) = x + log₂ x (**) và x > 0.

Xét hàm f(t) = t + log₂ 2t đồng biến khi t > 0.

Do đó f(u) = f(v) ⇔ u = v, với u > 0, v > 0.

Vậy từ (**) ⇔ 2^x - 1 = x ⇔ 2^x - 1 -1 = 0 (***).

Lại xét hàm g(x) = 2^x - 1 -1 khi x > 0

g'(x) = 2^x ln2 - 1, g'(x) = 0 ⇔ 2^x = $\frac{1}{ln2}$ = log₂ e > 1.

Ta có g''(x) > 0 với mọi x nên g'(x) là hàm tăng trên R

=> g'(x) < 0, ∀ x < log₂ (log₂ e ) và g'(x) > 0, ∀ x > log₂ (log₂ e )

=>g giảm trên [- ∞; log₂ (log₂ e]

g tăng trên [log₂ (log₂ e ; + ∞)

=> g(x) = 0 có tối đa một nghiệm trên ( -∞ ; log₂ (log₂ e )] và có tối đa một nghiệm trên [log₂ (log₂ e ) ; + ∞).

Bằng cách thử nghiệm ta có phương trình g(x) = 0 (***) có 2 nghiệm là c = 0 và x =1. Vì x > 0 nên (*) ⇔ x = 1.

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.