Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) có hai điểm cực trị là \(A\) và \(B\) sao cho \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(y=5x-9\). Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).

Câu 361555: Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) có hai điểm cực trị là \(A\) và \(B\) sao cho \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(y=5x-9\). Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).

A. \(0\)

B. \(6\)

C. \( - 6\)

D. \(3\)

Câu hỏi : 361555

Quảng cáo

Đáp án : A
(18) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(y' = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\)

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\)

+ Để hàm số có 2 cực trị \( \Rightarrow \) Phương trình \(y'= 0 \) có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4{m^2} + 4 > 0 \Leftrightarrow 4 > 0\,\,\,(luon\,dung)\)

+ Vì \(\Delta \) đẹp \( \Rightarrow \) 2 nghiệm của PT là: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{2m + 2}}{2}=m+1\\{x_2} = \dfrac{{2m - 2}}{2}=m-1 \end{array} \right.\)

+ Gọi\(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\)

Vì \(A,\,\,B\) cách đều đường thẳng \( \Rightarrow \) Trung điểm \(I\) của \(AB\) thuộc đường thẳng \( \Rightarrow {x_I} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = m\)

Mà điểm \(I\) thuộc \(y=5x-9\) \(\Rightarrow {{y}_{I}}=5m-9\).

+ Mặt khác \({{y}_{I}}=\dfrac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}=\dfrac{m\left( {{m}^{2}}-3 \right)}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5m - 9 = \dfrac{{m\left( {{m^2} - 3} \right)}}{3} \Leftrightarrow 15m - 27 = {m^3} - 3m\\ \Leftrightarrow {m^3} - 18m + 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1,854\\m = - 4,854\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tổng các phần tử \( = 3 + 1,851 - 4,854 = 4,854 - 4,854 = 0\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.