Giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\) có các điểm cực trị lập thành một tam giác đều là

Câu 361559: Giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\) có các điểm cực trị lập thành một tam giác đều là

A. \(m=\sqrt[3]{3}.\)

B. \(m = 2\sqrt[3]{3}.\)

C. \(m = 4\sqrt[3]{3}.\)

D. \(m = \dfrac{1}{2}.\)

Câu hỏi : 361559

Quảng cáo

Đáp án : A
(14) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Cách 1:

+ Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right);\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m(*)\end{array} \right.\)

+ Để hàm số có 3 điểm cực trị thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Leftrightarrow m > 0\,\,\left( 1 \right)\)

+ Khi đó ta gọi 3 điểm cực trị của hàm số là:

\(A\left( {0;2m + {m^4}} \right),\,\,B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 2m + {m^4}} \right),\,\,C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 2m + {m^4}} \right)\)

+ Gọi \(H\left( {0; - {m^2} + 2m + {m^4}} \right)\) là trung điểm của \(BC\)

+ Do \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\) nên để \(ABC\) là tam giác đều thì \(AH = BC.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - {m^2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {{{\left( {\sqrt m + \sqrt m } \right)}^2}} \Leftrightarrow {m^2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.2\sqrt m \Leftrightarrow {m^4} = 3m \Leftrightarrow {m^3} = 3 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}\,\,\left( {tm} \right)\).

Cách 2: Dùng luôn công thức

+ Đề hàm số có 3 cực trị \( \Leftrightarrow ab < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - 2m} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 0\)

+ Tạo thành tam giác đều\( \Rightarrow {b^3} = - 24{\rm{a}}\) (Tra công thức trong bảng công thức nhanh)

\( \Leftrightarrow {\left( { - 2m} \right)^3} = - 24 \Leftrightarrow - 8{m^3} = - 24 \Leftrightarrow {m^3} = 3 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.