Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m.\) Xác định tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị này lập thành một tam giác có diện tích bằng 32.

Câu 361560: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m.\) Xác định tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị này lập thành một tam giác có diện tích bằng 32.

A. \(m = 4,\,\,m = 1.\)

B. \(m = 4.\)

C. \(m = - \,4.\)

D. \(m = - \,1.\)

Câu hỏi : 361560

Quảng cáo

Đáp án : B
(11) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Cách 1:

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx.\) Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì khi đó:

Phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right..\)

Để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt thì: \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 0\end{array} \right..\)

Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: \(A\left( {0;2m} \right);B\left( {\sqrt m ;2m - {m^2}} \right);C\left( { - \sqrt m ;2m - {m^2}} \right).\)

Ta có: \(AB = AC\)\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A.

Gọi \(H\left( {0;2m - {m^2}} \right)\) là trung điểm của \(BC,\) do tam giác ABC cân tại A nên ta có:

\(AH \bot BC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{AH.BC}}{2}\\ = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2m - 2m + {m^2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt m + \sqrt m } \right)}^2} + {{\left( {2m - {m^2} - 2m + {m^2}} \right)}^2}} }}{2}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = {m^2}.\sqrt m \end{array}\)

Mà \({S_{ABC}} = 32 \Rightarrow {m^2}\sqrt m = 32 \Rightarrow m = 4.\)

Cách 2: Dùng luôn công thức

+ Đề hàm số có 3 cực trị \( \Leftrightarrow ab < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - 2m} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 0\)

+ 3 Cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng \({S_0} \Rightarrow 32{{\rm{a}}^3}.{\left( {{S_0}} \right)^2} + {b^5} = 0\)

\( \Leftrightarrow {32.1.32^2} + {\left( { - 2m} \right)^5} = 0 \Leftrightarrow {32^3} - 32{m^5} = 0 \Leftrightarrow {m^5} = {32^2} \Leftrightarrow m = 4\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.