Chứng minh rằng với \(n \in \mathbb{N}*\) thì \({n^3} - n\) chia hết cho \(3.\)
Câu 361700: Chứng minh rằng với \(n \in \mathbb{N}*\) thì \({n^3} - n\) chia hết cho \(3.\)
Sử dụng phương pháp quy nạp.
-
Giải chi tiết:
Đặt: \({A_n} = {n^3} - n\)
+) Với \(n = 1 \Rightarrow {A_1} = 1 - 1 = 0 \vdots 3\) (đúng)
+) Giả sử \({n^3} - n\,\, \vdots \,\,3\) đúng khi \(n = k \ge 1\) hay \({A_k} = {k^3} - k\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp)
+) Cần chứng minh \({n^3} - n\,\, \vdots \,\,3\) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh: \({A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 - k - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{k^3} - k} \right) + 3\left( {{k^2} + k} \right)\end{array}\)
Vì \({k^3} - k\,\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp); \(3\,\, \vdots \,\,3\)
\( \Rightarrow \left( {{k^3} - k} \right) + 3\left( {{k^2} + k} \right)\,\, \vdots \,\,3\)
Hay \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3.\)
Vậy \({n^3} - n\,\, \vdots \,\,3\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*.\) (đpcm)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
