Cho hàm số \( - {x^4} + 2\left( {m + 2} \right){x^2} - 2m - 3\,\,\,\left( {{C_m}} \right)\). Tìm số giá trị của \(m\) để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt \(Ox\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành cấp số cộng.

Câu 361784: Cho hàm số \( - {x^4} + 2\left( {m + 2} \right){x^2} - 2m - 3\,\,\,\left( {{C_m}} \right)\). Tìm số giá trị của \(m\) để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt \(Ox\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành cấp số cộng.

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Câu hỏi : 361784

Quảng cáo

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \( - {x^4} + 2\left( {m + 2} \right){x^2} - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2\left( {m + 2} \right){x^2} + {\left( {m + 2} \right)^2} = {m^2} + 2m + 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - m - 2} \right)^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - m - 2 = m + 1\\{x^2} - m - 2 = - m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2m + 3\,\,\,\left( * \right)\\{x^2} = 1\end{array} \right.\)

Để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 3 > 0\\2m + 3 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 3}}{2}\\m \ne - 1\end{array} \right.\)

+ Khi đó bốn nghiệm của phương trình là: \(x = \pm 1;\,\,x = \pm \sqrt {2m + 3} .\)

+ Để cắt nhau tại 4 điểm có hoành độ lập thành CSC

\( \Rightarrow \) Phương trình có 4 nghiệm lập thành CSC \( \Rightarrow \) Sắp xếp các nghiệm để tạo thành CSC như sau:

TH1: \( - \sqrt {2m + 3} < - 1 < 1 < \sqrt {2m + 3} \)

Nhận thấy khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp bằng 2 \( \Rightarrow \sqrt {2m + 3} - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 3\)

TH2: \( - 1 < - \sqrt {2m + 3} < \sqrt {2m + 3} < 1\)

Cấp số cộng có tính chất khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp luôn bằng nhau

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 - \sqrt {2m + 3} = \sqrt {2m + 3} - \left( { - \sqrt {2m + 3} } \right)\\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {2m + 3} = 2\sqrt {2m + 3} \\ \Leftrightarrow 3\sqrt {2m + 3} = 1 \Leftrightarrow 2m + 3 = \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 13}}{9}\end{array}\)

Vậy có 2 giá trị của m.

Chọn A

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.