Trên đồ thị \(y = \frac{1}{{x - 1}}\) có điểm \(M\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với trục

Câu hỏi số 362189:

Vận dụng

Trên đồ thị \(y = \frac{1}{{x - 1}}\) có điểm \(M\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với trục tọa độ tạo 1 tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ \(M\) là:

A. \(\left( {2;1} \right)\)

B. \(\left( {4;\frac{1}{3}} \right)\)

C. \(\left( { - \frac{3}{4}; - \frac{4}{7}} \right)\)

D. \(\left( {\frac{3}{4}; - 4} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:362189

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có dạng

\(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{{{x_0} - 1}}\)

Gọi giao điểm của tiếp tuyến với 2 trục toạ độ là \(A,\,\,B\).

- Toạ độ A là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{{{x_0} - 1}}\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\)

- Toạ độ B là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{{{x_0} - 1}}\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x + \frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}} = 0\\ \Leftrightarrow x = \left( {\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right){\left( {{x_0} - 1} \right)^2} \Rightarrow B\left( {\left( {\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\left( {{x_0} - 1} \right);0} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta OAB}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{2}OA.OB = 2 \Leftrightarrow OA.OB = 4\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right|.\left| {\left( {\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right){{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)^2}.{\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{3}{4}; - 4} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.