Cho hàm số \(y = \frac{1}{6}{x^4} - \frac{7}{3}{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu điểm \(A\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \((C)\) tại \(A\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,N\left( {{x_{2,}}{y_2}} \right)\) (\(M,N\) khác \(A\)) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\).

Câu 362192: Cho hàm số \(y = \frac{1}{6}{x^4} - \frac{7}{3}{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu điểm \(A\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \((C)\) tại \(A\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,N\left( {{x_{2,}}{y_2}} \right)\) (\(M,N\) khác \(A\)) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\).

A. \(3\)

B. \(0\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Câu hỏi : 362192

Quảng cáo

Đáp án : D
(25) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi phương trình tiếp tuyến tại \(A:{y_{tt}} = \left( {\frac{2}{3}{x_0}^3 - \frac{{14}}{3}{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{6}{x_0}^4 - \frac{7}{3}{x_0}^2\)

\(\overrightarrow {NM} \left( {{x_1} - {x_2},{y_1} - {y_2}} \right) = \left( {{x_1} - {x_2};4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right) \Rightarrow \overrightarrow {NM} \,\,\parallel \,\,\overrightarrow u \left( {1;4} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {NM} \) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( { - 4;1} \right).\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(MN\) có dạng: \( - 4x + y + c = 0 \Leftrightarrow y = 4x + c\,\,\,\,\left( d \right)\)

\( \Rightarrow \) Hệ số góc tiếp tuyến bằng 4 \( \Leftrightarrow \frac{2}{3}{x_0}^2 - \frac{{14}}{3}{x_0} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 2\\{x_0} = - 1\\{x_0} = 3\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}{x_0} = - 2,{y_{tt}} = 4\left( {x + 2} \right) - \frac{{20}}{3} = 4x + \frac{4}{3}\\{x_0} = - 1,{y_{tt}} = 4\left( {x + 1} \right) - \frac{{13}}{6} = 4x + \frac{{11}}{6}\\{x_0} = 3,{y_{tt}} = 4\left( {x - 3} \right) - \frac{{15}}{2} = 4x - \frac{{39}}{2}\end{array}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( C \right)\)và \(\left( d \right)\)

\(\frac{1}{6}{x^4} - \frac{7}{3}{x^2} = 4x + c \Leftrightarrow c = \frac{1}{6}{x^4} - \frac{7}{3}{x^2} - 4x = f\left( x \right)\)

\(f\left( x \right):\)

Loại trường hợp \({x_0} = 3.\) Vậy có 2 điểm \(A\) thỏa mãn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.