Giải phương trình nghiệm nguyên \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\)

Câu hỏi số 366727:

Vận dụng

A. \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2;3;6} \right),\left( {2;4;4} \right)\) và các hoán vị của nó.

B. \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2;3;6} \right),\left( {2;4;5} \right)\) và các hoán vị của nó.

C. \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2;4;6} \right),\left( {2;3;5} \right)\) và các hoán vị của nó.

D. \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;3;6} \right),\left( {2;3;5} \right)\) và các hoán vị của nó.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366727

Phương pháp giải

Nhận thấy \(x,y,z\) có vai trò như nhau nên ta giả sử \(x \le y \le z \Leftrightarrow \frac{1}{x} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}\)

Sau đó đánh giá để suy ra các nghiệm.

Giải chi tiết

Nhận thấy \(x,y,z\) có vai trò như nhau nên ta giả sử \(x \le y \le z \Leftrightarrow \frac{1}{x} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}\)

Ta có: \(1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{1}{z} + \frac{1}{z} + \frac{1}{z} = \frac{3}{z} \Leftrightarrow z \ge 3\)

\(1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)

TH1: Rõ ràng \(x = 1\)không là nghiệm

TH2: Nếu \(x = 2 \Rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}\)

Ta có \(\frac{1}{2} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y} \Rightarrow y \le 4 \Leftrightarrow y \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) mà \(y \ge x \Rightarrow y \in \left\{ {2;3;4} \right\}\)

Nếu \(y = 2 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2} \Rightarrow z = 0(ktm)\)

Nếu \(y = 3 \Rightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2} \Rightarrow z = 6\)

Nếu \(y = 4 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2} \Rightarrow z = 4\)

TH3: Nếu \(x = 3 \Rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}\)

Ta có : \(\frac{2}{3} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y} \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)mà \(y \ge x\) Vậy không có giá trị nào của \(y\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2;3;6} \right),\left( {2;4;4} \right)\) và các hoán vị của nó.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link