Cho tứ diện \(ABCD\) có hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\), \(\left( {BCD} \right)\) vuông góc với

Câu hỏi số 371422:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\), \(\left( {BCD} \right)\) vuông góc với nhau, độ dài các cạnh \(AB = BC = BD = AC = a\), \(AD = a\sqrt 2 \). Tính diện tích xung quanh của mặt cầu đi qua bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\).

A. \({S_{xq}} = 4\pi {a^2}.\)

B. \({S_{xq}} = \pi {a^2}.\)

C. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2}.\)

D. \({S_{xq}} = 8\pi {a^2}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:371422

Giải chi tiết

\( + )\) Gọi \(I\) là trung điểm \(CD\). Do \(BC = BD \Rightarrow BI \bot CD.\)

\( + )\) Vì \(\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(BI \bot \left( {ACD} \right)\).

\( + )\) Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta CIB\) có: \(BI\) chung;

\(\widehat {AIB} = \widehat {CIB} = {90^0},\,\,AB = CB = a\).

\( \Rightarrow \Delta AIB = \Delta DIB\,\,\left( {canh\,\,huyen - canh\,\,goc\,vuong} \right) \Rightarrow AI = CI\)

\( \Rightarrow AI = \dfrac{1}{2}CD \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(A\).

\( \Rightarrow \) Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc \(BI\).

\( + )\) Tâm mặt cầu ngoại tiếp \(ABCD\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\).

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\)\( \Rightarrow BB' = 2R\).

\( + )\) Xét \(\Delta CIB\) và \(\Delta B'CB\) có:

\(\widehat {CIB} = \widehat {B'CB} = {90^0};\,\,\widehat B\,\,chung\).

\( \Rightarrow \) \(\Delta CIB\) đồng dạng \(\Delta B'CB\) (g.g)

\( \Rightarrow \Rightarrow \dfrac{{CB}}{{BI}} = \dfrac{{BB'}}{{CB}} \Leftrightarrow C{B^2} = BI.BB' = 2R.BI \Rightarrow R = \dfrac{{C{B^2}}}{{2.BI}}\)

\( + )\) Xét \(\Delta BCI\) có:

\(\begin{array}{l}B{I^2} = B{C^2} - \dfrac{{C{D^2}}}{4} = B{C^2} - \dfrac{{A{C^2} + A{D^2}}}{4} = {a^2} - \dfrac{{{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{4} \Rightarrow BI = \dfrac{a}{2}\\ \Rightarrow {R_{mcnt}} = \dfrac{{C{B^2}}}{{2.BI}} = \dfrac{{{a^2}}}{{2.\dfrac{a}{2}}} = a \Rightarrow {S_{xq}} = 4\pi {a^2}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.