Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \( ABCD\) là hình thoi cạnh \(a,\,\,\widehat {ABC} = {60^0}\). Mặt bên
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \( ABCD\) là hình thoi cạnh \(a,\,\,\widehat {ABC} = {60^0}\). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích \((S)\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
\( + )\)Xét \(\Delta SAB\)đều: Gọi \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta SAB\) ta có:
\(\dfrac{{SG}}{{SH}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow SG = \dfrac{2}{3}SH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a = GA = GB\)
\( + )\)Xét \(\Delta ABC\)có:\(\left\{ \begin{array}{l}BA = BC\\\widehat {ABC} = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC\)đều.
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow BO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi \(G'\) là trọng tâm \(\Delta ABC\), kẻ đường thẳng \(d \bot \left( {ABC} \right)\) tại \(G'\).
Trong \(\left( {SH;d} \right)\) kẻ \(GI\parallel HG'\,\,\left( {I \in d} \right)\).
\( \Rightarrow GI \bot \left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
Ta có: Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow HG' = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
\(\Delta SAB\) đều cạnh \(a \Rightarrow GH = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} = G'I\).
\( \Rightarrow \Delta HIG'\) vuông cân tại \(G' \Rightarrow HI = HG'\sqrt 2 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 2 = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot GH\\AB \bot HG'\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SH;d} \right) \Rightarrow AB \bot HI\).
Xét tam giác vuông \(AHI\) có: \(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{6} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\).
\( \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{6}a} \right)^2} = \dfrac{5}{3}{a^2}\pi .\)
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
