Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \( ABCD\) là hình thoi cạnh \(a,\,\,\widehat {ABC} = {60^0}\). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích \((S)\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
Câu 371428: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \( ABCD\) là hình thoi cạnh \(a,\,\,\widehat {ABC} = {60^0}\). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích \((S)\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
A. \(S = \dfrac{{13\pi {a^2}}}{{12}}\)
B. \(S = \dfrac{{5\pi {a^2}}}{3}\)
C. \(S = \dfrac{{13\pi {a^2}}}{{36}}\)
D. \(S = \dfrac{{5\pi {a^2}}}{9}\)
-
Đáp án : B(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\( + )\)Xét \(\Delta SAB\)đều: Gọi \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta SAB\) ta có:
\(\dfrac{{SG}}{{SH}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow SG = \dfrac{2}{3}SH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a = GA = GB\)
\( + )\)Xét \(\Delta ABC\)có:\(\left\{ \begin{array}{l}BA = BC\\\widehat {ABC} = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC\)đều.
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow BO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi \(G'\) là trọng tâm \(\Delta ABC\), kẻ đường thẳng \(d \bot \left( {ABC} \right)\) tại \(G'\).
Trong \(\left( {SH;d} \right)\) kẻ \(GI\parallel HG'\,\,\left( {I \in d} \right)\).
\( \Rightarrow GI \bot \left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
Ta có: Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow HG' = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
\(\Delta SAB\) đều cạnh \(a \Rightarrow GH = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} = G'I\).
\( \Rightarrow \Delta HIG'\) vuông cân tại \(G' \Rightarrow HI = HG'\sqrt 2 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 2 = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot GH\\AB \bot HG'\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SH;d} \right) \Rightarrow AB \bot HI\).
Xét tam giác vuông \(AHI\) có: \(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{6} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\).
\( \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{6}a} \right)^2} = \dfrac{5}{3}{a^2}\pi .\)
Chọn B.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
