Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 3m{x^2} - mx - 2m\sqrt {{x^2} - x + 1} + 2\) (\(m\) là tham

Câu hỏi số 371490:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 3m{x^2} - mx - 2m\sqrt {{x^2} - x + 1} + 2\) (\(m\) là tham số thực). Biết \(f\left( x \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. \(m \in \emptyset \)

B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

C. \(m \in \left( {0;\dfrac{5}{4}} \right)\).

D. \(m \in \left( { - 1;1} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:371490

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 3m{x^2} - mx - 2m\sqrt {{x^2} - x + 1} + 2\\f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 2 + m\left( {3{x^2} - x - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left( {3{x^2} - x - 2 + 2 - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left[ {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - 1} \right)} \right]\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left[ {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\dfrac{{{x^2} - x + 1 - 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}}} \right]\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left[ {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}}} \right]\\f\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} - x - 1} \right) + m\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 2 - \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}}} \right)\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {2\left( {{x^3} - {x^2} - x - 1} \right) + m\left( {3x + 2 - \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}}} \right)} \right]\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Điều kiện cần: \(g\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow - 4 + m\left( {5 - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4 + 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Điều kiện đủ:

Khi \(m = 1\) ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} - x - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} + 2\\f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - x + 1 - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1\\f\left( x \right) = 2{x^2}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.