Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh bên bằng \(2a\), đáy là tam giác \(ABC\)
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh bên bằng \(2a\), đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\); \(CA = CB = a\). Gọi là \(M\) trung điểm của cạnh \(AA'\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(MC'\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng song song với đường này chứa đường thẳng kia.
Gọi \(N\) là trung điểm của \(CC'\) ta có \(AN\parallel MC' \Rightarrow MC'\parallel \left( {ABN} \right) \supset AB\).
\( \Rightarrow d\left( {MC';AB} \right) = d\left( {MC';\left( {ABN} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {ABN} \right)} \right)\).
Ta có: \(CC' \cap \left( {ABN} \right) = \left\{ N \right\} \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C'\left( {ABN} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {ABN} \right)} \right)}} = \dfrac{{C'N}}{{CN}} = 1 \Rightarrow d\left( {C';\left( {ABN} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {ABN} \right)} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Tam giác \(ABC\) cân tại \(C \Rightarrow CI \bot AB\).
Xét \({\Delta _v}ACN\) và \({\Delta _v}BCN\) có: \(AC = BC\,\,\left( {gt} \right),\,\,CN\,\,chung;\)
\( \Rightarrow {\Delta _v}ACN = {\Delta _v}BCN\) (hai cạnh góc vuông) \( \Rightarrow AN = BN \Rightarrow \Delta ABN\) cân tại \(N\).
\( \Rightarrow \) Trung tuyến \(NI\) đồng thời là đường cao \( \Rightarrow NI \bot AB\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CI\\AB \bot NI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {NCI} \right)\).
Trong \(\left( NCI \right)\) kẻ \(CK \bot NI\,\,\left( {K \in NI} \right)\) ta có \(CK \bot AB\,\,\left( {AB \bot \left( {NCI} \right) \supset CK} \right)\).
\( \Rightarrow CK \bot \left( {ABN} \right) \Rightarrow CK = d\left( {C;\left( {ABN} \right)} \right)\).
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) có \(CA = CB = a \Rightarrow CI = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(NCI\) đường cao \(CK\) ta có:
\(CK = \dfrac{{CI.CN}}{{\sqrt {C{I^2} + C{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\sqrt {\dfrac{{2{a^2}}}{4} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {AB;MC'} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
