Trong tất cả các cặp số thực \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x

Câu hỏi số 371492:

Vận dụng cao

Trong tất cả các cặp số thực \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1\), có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để tồn tại duy nhất cặp \(\left( {x;\,y} \right)\) sao cho \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\) ?

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(3\)

D. \(0\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:371492

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hình học.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(2x + 2y + 5 > 0.\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 2x + 2y + 5 \ge {x^2} + {y^2} + 3\,\,\left( {Do\,\,{x^2} + {y^2} + 3 > 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 \le 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( 1 \right)\) thuộc hình tròn tâm \(I\left( {1;1} \right)\), bán kính \(R = 2\) (tính cả biên).

Lại có \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = m\) (2) \( \Rightarrow m \ge 0\).

+ \(m = 0 \Leftrightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 2} \right) + 2\left( { - 3} \right) + 5 = - 5 < 0\,\,\)

\( \Rightarrow m = 0\) không thỏa mãn.

+ \(m > 0\), khi đó tập hợp các điểm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (2) là đường tròn tâm .. bán kính \({R_2} = \sqrt m \).

Ta có \(IJ = \sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 1} \right)}^2}} = 5 > {R_1} \Rightarrow J\) nằm phía ngoài hình tròn (1). Do đó để tồn tại duy nhất cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (1) và (2) thì:

TH1: Hai đường tròn \(\left( {I;2} \right)\) và \(\left( {J;\sqrt m } \right)\) tiếp xúc ngoài.

\( \Rightarrow IJ = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow 5 = 2 + \sqrt m \Leftrightarrow \sqrt m = 3 \Leftrightarrow m = 9\,\,\left( {tm} \right)\).

TH2: Đường tròn \(\left( {J;\sqrt m } \right)\) chứa đường tròn \(\left( {I;2} \right)\).

\( \Rightarrow IJ = {R_2} - {R_1} \Leftrightarrow 5 = \sqrt m - 2 \Leftrightarrow \sqrt m = 7 \Leftrightarrow m = 49\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chú ý khi giải

Nhiều học sinh chỉ tìm được 1 giá trị của \(m\) do thiếu trường hợp 2.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.