Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)\). Biết rằng \(f'\left( 2 \right) +

Câu hỏi số 371495:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)\). Biết rằng \(f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) + ... + f'\left( {2019} \right) + f'\left( {2020} \right) = \dfrac{m}{n}\) với \(m\), \(\,n\), là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính \(S = 2m - n\).

A. \(2\).

B. \(4\).

C. \(-2\).

D. \(-4\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:371495

Phương pháp giải

+ Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left[ {\ln \left( u \right)} \right]' = \dfrac{{u'}}{u}\).

+ Sử dụng phân tích: \(\dfrac{2}{\left( k-1 \right)k\left( k+1 \right)}=\dfrac{1}{\left( k-1 \right)k}-\dfrac{1}{k\left( k+1 \right)}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{2x}}{{{x^4}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{2}{{{x^3}}}}}{{\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}}} = \dfrac{2}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{\left( {x - 1} \right)x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)x}} - \dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).

Do đó:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) + ... + f'\left( {2019} \right) + f'\left( {2020} \right)\\ = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}} + .... + \dfrac{1}{{2018.2019}} - \dfrac{1}{{2019.2020}} + \dfrac{1}{{2019.2020}} - \dfrac{1}{{2020.2021}}\\ = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2020.2021}} = \dfrac{{1010.2021 - 1}}{{2020.2021}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1010.2021 - 1\\n = 2020.2021\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = 2m - n = 2\left( {1010.2021 - 1} \right) - 2020.2021 = 2020.2021 - 2 - 2020.2021 = - 2\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.