Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a\sqrt 3 ,AB = AC = 2a,BC = 3a\). Tính thể tích của khối chóp

Câu hỏi số 371496:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a\sqrt 3 ,AB = AC = 2a,BC = 3a\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{2}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {35} {a^3}}}{2}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {35} {a^3}}}{6}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:371496

Phương pháp giải

+ Chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

+ Công thức tính thể tích khối chóp: \({V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Giải chi tiết

Chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC \Rightarrow \) Hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), do tam giác \(ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AM\) đồng thời là trung trực của \(BC\).

Suy ra \(H \in AM\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABM\) có:

\(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{9{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.3a = \dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4}\).

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow R = \dfrac{{AB.BC.CA}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{2a.2a.3a}}{{4.\dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4}}} = \dfrac{{4\sqrt 7 a}}{7}\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{4\sqrt 7 a}}{7}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAH\) có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{16}}{7}{a^2}} = \dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}.\dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.