Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a\sqrt 3 ,AB = AC = 2a,BC = 3a\). Tính thể tích của khối chóp

Câu hỏi số 371496:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a\sqrt 3 ,AB = AC = 2a,BC = 3a\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{2}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {35} {a^3}}}{2}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {35} {a^3}}}{6}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:371496

Phương pháp giải

+ Chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

+ Công thức tính thể tích khối chóp: \({V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Giải chi tiết

Chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC \Rightarrow \) Hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), do tam giác \(ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AM\) đồng thời là trung trực của \(BC\).

Suy ra \(H \in AM\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABM\) có:

\(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{9{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.3a = \dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4}\).

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow R = \dfrac{{AB.BC.CA}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{2a.2a.3a}}{{4.\dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4}}} = \dfrac{{4\sqrt 7 a}}{7}\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{4\sqrt 7 a}}{7}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAH\) có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{16}}{7}{a^2}} = \dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}.\dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.