Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a\sqrt 3 ,AB = AC = 2a,BC = 3a\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\).

Câu 371496: Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a\sqrt 3 ,AB = AC = 2a,BC = 3a\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{2}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {35} {a^3}}}{2}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {35} {a^3}}}{6}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{4}\).

Câu hỏi : 371496

Phương pháp giải:

+ Chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

+ Công thức tính thể tích khối chóp: \({V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC \Rightarrow \) Hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), do tam giác \(ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AM\) đồng thời là trung trực của \(BC\).

Suy ra \(H \in AM\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABM\) có:

\(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{9{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.3a = \dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4}\).

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow R = \dfrac{{AB.BC.CA}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{2a.2a.3a}}{{4.\dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4}}} = \dfrac{{4\sqrt 7 a}}{7}\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{4\sqrt 7 a}}{7}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAH\) có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{16}}{7}{a^2}} = \dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}.\dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{4}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.