Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = .

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 37309:

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y}$ .

A. MinP = 8

B. MinP = 7

C. MinP = 6

D. MinP = 5

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:37309

Giải chi tiết

Ta có P = $\frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y}$

= $\frac{x^{3}+(y+1)^{3}-[x^{2}+(y+1)^{2}]}{(x-1)y}$ . Đặt y + 1 = t. Điều kiện: t > 1

P = $\frac{x^{3}+t^{3}-(x^{2}+t^{2})}{(x-1)(t-1)}$ . Đặt a = x + t, điều kiện a > 2

Đồng thời: (x + t)² = a² => 4xt ≤ a²⇔ xt ≤ $\frac{a^{2}}{4}$

=> P = $\frac{x^{3}+t^{3}-(x^{2}+t^{2})}{(x-1)(t-1)}$ = $\frac{a^{3}-a^{2}-xt(3a-2)}{xt-a+1}$

=> P ≥ $\frac{a^{3}-a^{2}-\frac{a^{2}}{4}(3a-2)}{\frac{a^{2}}{4}-a+1}$ = $\frac{a^{2}}{a-2}$

Xét hàm số: f(a) = $\frac{a^{2}}{a-2}$ ; f'(a) = $\frac{a^{2}-4a}{(a-2)^{2}}$ ; f'(a)= 0 ⇔ a = 4 hoặc a = 0 (loại)

Bảng biến thiên:

Do đó MinP = min f(a)_(2;+_∞)= 8

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=4\\ x=t \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ x=2 \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.