Hàm số \(y = - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x\)có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)?\)

Câu 373215: Hàm số \(y = - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x\)có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)?\)

A. Vô số

B. 1

C. 0

D. 2

Câu hỏi : 373215

Phương pháp giải:

Tìm đạo hàm của hàm số rồi nhận xét.

Đáp án : C
(15) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(y' = - {x^2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos 2x = - {x^2} + \dfrac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right)\).

Xét trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có: \(2x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \cos 2x \in \left( {-1;1} \right) \Rightarrow 1 - \cos 2x \in \left( {0;2} \right)\).

Đặt \(y' = g\left( x \right) = - {x^2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos 2x\) ta có: \(g'\left( x \right) = - 2x + \sin 2x\)

Ta có: \(g''\left( x \right) = - 2 + 2\cos 2x = 2\left( {\cos 2x - 1} \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g'\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow g'\left( 0 \right) > g'\left( x \right) > g'\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow 0 > g'\left( x \right) > - \pi \,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \)Hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow g\left( 0 \right) > g\left( x \right) > g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 > g\left( x \right) > - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 1\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) < 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow y' < 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Do đó hàm số \(y = - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Vậy hàm số không có cực trị trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.