Hàm số \(y = - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x\)có bao nhiêu điểm cực trị trên

Câu hỏi số 373215:

Vận dụng cao

Hàm số \(y = - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x\)có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)?\)

A. Vô số

B. 1

C. 0

D. 2

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373215

Phương pháp giải

Tìm đạo hàm của hàm số rồi nhận xét.

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = - {x^2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos 2x = - {x^2} + \dfrac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right)\).

Xét trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có: \(2x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \cos 2x \in \left( {-1;1} \right) \Rightarrow 1 - \cos 2x \in \left( {0;2} \right)\).

Đặt \(y' = g\left( x \right) = - {x^2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos 2x\) ta có: \(g'\left( x \right) = - 2x + \sin 2x\)

Ta có: \(g''\left( x \right) = - 2 + 2\cos 2x = 2\left( {\cos 2x - 1} \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g'\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow g'\left( 0 \right) > g'\left( x \right) > g'\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow 0 > g'\left( x \right) > - \pi \,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \)Hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow g\left( 0 \right) > g\left( x \right) > g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 > g\left( x \right) > - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 1\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) < 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow y' < 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Do đó hàm số \(y = - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Vậy hàm số không có cực trị trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.