Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta luôn có \(2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\).
Câu 373885: Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta luôn có \(2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\).
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
-
Giải chi tiết:
Đặt \(2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\).
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = 2,\,\,VP = \dfrac{{1.\left( {3.1 + 1} \right)}}{2} = 2 \Rightarrow VT = VP\).
Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là: \({S_k} = 2 + 5 + 8 + ... + 3k - 1 = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2}\) (Giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là
\({S_{k + 1}} = 2 + 5 + 8 + ... + 3k - 1 + 3\left( {k + 1} \right) - 1 = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1 = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2} + 3k + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2} = \dfrac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\end{array}\).
Như vậy (2) đã được chứng minh.
Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
