Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\).
Câu 373886: Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\).
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
-
Giải chi tiết:
Đặt \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\,\,\,\left( 1 \right)\).
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = {1^2} = 1,\,\,VP = \dfrac{{1.2.3}}{6} = 1 \Rightarrow VT = VP\).
Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là: \({S_k} = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}\) (Giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là
\({S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + {\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + \dfrac{{6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\end{array}\).
Như vậy (2) đã được chứng minh.
Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com