Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} =

Câu hỏi số 373886:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373886

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = {1^2} = 1,\,\,VP = \dfrac{{1.2.3}}{6} = 1 \Rightarrow VT = VP\).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là: \({S_k} = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}\) (Giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là

\({S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + {\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + \dfrac{{6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\end{array}\).

Như vậy (2) đã được chứng minh.

Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.