Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \(1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\).
Câu 373887: Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \(1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\).
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
-
Giải chi tiết:
Đặt \(1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = 1.2 = 2,\,\,VP = {1^2}\left( {1 + 1} \right) = 2 \Rightarrow VT = VP\).
Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là: \({S_k} = 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k\left( {3k - 1} \right) = {k^2}\left( {k + 1} \right)\) (Giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là
\({S_{k + 1}} = 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k\left( {3k - 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) = {\left( {k + 1} \right)^2}\left( {k + 2} \right)\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) = {k^2}\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 3k + 2} \right) = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = {\left( {k + 1} \right)^2}\left( {k + 2} \right)\end{array}\).
Như vậy (2) đã được chứng minh.
Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com