Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \(1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n\left( {3n - 1} \right) =

Câu hỏi số 373887:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \(1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373887

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \(1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = 1.2 = 2,\,\,VP = {1^2}\left( {1 + 1} \right) = 2 \Rightarrow VT = VP\).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là: \({S_k} = 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k\left( {3k - 1} \right) = {k^2}\left( {k + 1} \right)\) (Giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là

\({S_{k + 1}} = 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k\left( {3k - 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) = {\left( {k + 1} \right)^2}\left( {k + 2} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) = {k^2}\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 3k + 2} \right) = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = {\left( {k + 1} \right)^2}\left( {k + 2} \right)\end{array}\).

Như vậy (2) đã được chứng minh.

Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.