Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1}

Câu hỏi số 373888:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373888

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = {1^2} = 1,\,\,\,VP = \dfrac{{1.\left( {{{4.1}^2} - 1} \right)}}{3} = 1 \Rightarrow VT = VP\).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là: \({S_k} = {1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} = \dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3}\) (Giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là

\({S_{k + 1}} = {1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} + {\left( {2k + 1} \right)^2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2} = \dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} + \dfrac{{3{{\left( {2k + 1} \right)}^2}}}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{k^3} - k + 12{k^2} + 12k + 3}}{3} = \dfrac{{4{k^3} + 12{k^2} + 11k + 3}}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{k^3} + {k^2} + 3 + 11{k^2} + 11k}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {4{k^2} - 3k + 3} \right) + 11k\left( {k + 1} \right)}}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {4{k^2} + 8k + 3} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4\left( {{k^2} + 2k + 1} \right) - 1} \right]}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\end{array}\).

Như vậy (2) đã được chứng minh.

Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.