Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \(3 + 9 + 27 + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n +

Câu hỏi số 373892:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \(3 + 9 + 27 + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373892

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \(3 + 9 + 27 + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = 3,\,\,\,VP = \dfrac{1}{2}\left( {{3^2} - 3} \right) = 3 \Rightarrow VT = VP\).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là: \({S_k} = 3 + 9 + 27 + {3^k} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right)\) (Giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là \({S_{k + 1}} = 3 + 9 + 27 + {3^k} + {3^{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + {3^{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) + \dfrac{{{{2.3}^{k + 1}}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{3^{k + 1}} - 3 + {{2.3}^{k + 1}}}}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right)\end{array}\).

Như vậy (2) đã được chứng minh.

Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.