Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \(3 + 9 + 27 + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\).
Câu 373892: Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \(3 + 9 + 27 + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\).
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
-
Giải chi tiết:
Đặt \(3 + 9 + 27 + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = 3,\,\,\,VP = \dfrac{1}{2}\left( {{3^2} - 3} \right) = 3 \Rightarrow VT = VP\).
Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là: \({S_k} = 3 + 9 + 27 + {3^k} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right)\) (Giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là \({S_{k + 1}} = 3 + 9 + 27 + {3^k} + {3^{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + {3^{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) + \dfrac{{{{2.3}^{k + 1}}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{3^{k + 1}} - 3 + {{2.3}^{k + 1}}}}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right)\end{array}\).
Như vậy (2) đã được chứng minh.
Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com