Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tổng sau: \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Cho tổng sau: \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Câu 1: Tính \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,{S_4}\).
-
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\\{S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\\{S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\\{S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\end{array}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Câu 2: Dự đoán công thức \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
-
Giải chi tiết:
Ta có thể dự đoán công thức của tổng: \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}} = \dfrac{n}{{4n + 1}}\,\,\left( 1 \right)\).
Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp.
Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}}\).
Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là:
\({S_k} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}} = \dfrac{k}{{4k + 1}}\,\,\left( 1 \right)\) (giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).
Tức là: \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}}\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} = \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} = \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {4k + 1} \right)}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}}\end{array}\)
Như vậy (2) đã được chứng minh.
Kết luận (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
