Cho tổng sau: \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3}

Cho tổng sau: \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Tính \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,{S_4}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:373894

Phương pháp giải

Thay lần lượt \(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,4\) để tính \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,{S_4}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\\{S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\\{S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\\{S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\end{array}\)

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Dự đoán công thức \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Xem lời giải

Câu hỏi:373895

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Ta có thể dự đoán công thức của tổng: \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}} = \dfrac{n}{{4n + 1}}\,\,\left( 1 \right)\).

Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}}\).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là:

\({S_k} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}} = \dfrac{k}{{4k + 1}}\,\,\left( 1 \right)\) (giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).

Tức là: \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} = \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} = \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {4k + 1} \right)}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}}\end{array}\)

Như vậy (2) đã được chứng minh.

Kết luận (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.