Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

\({3^n} > 3n + 1\,\,\,\left( {n \ge 2} \right)\)

Xem lời giải

Câu hỏi:373907

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({3^n} > 3n + 1\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\left( {n \ge 2} \right)\).

Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \(VT = {3^2} = 9,\,\,VP = 3.2 + 1 = 7 \Rightarrow VT > VP\) (Đúng).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\).

Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 2\), tức là \({3^k} > 3k + 1\) (giả thiết quy nạp).

Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \({3^{k + 1}} > 3k + 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có: \({3^{k + 1}} = {3.3^k} > 3\left( {3k + 1} \right) = 9k + 3 \ge 3k + 4\)

Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

\({3^n} > {n^2} + 4n + 4\,\,\left( {n \ge 3} \right)\)

Xem lời giải

Câu hỏi:373908

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({3^n} > {n^2} + 4n + 4 \Leftrightarrow {3^n} > {\left( {n + 2} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\left( {n \ge 3} \right)\).

Bước 1: Với \(n = 3\) ta có \(VT = {3^3} = 27,\,\,VP = {5^2} = 25 \Rightarrow VT > VP\) (Đúng).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 3\).

Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 3\), tức là \({3^k} > {\left( {k + 2} \right)^2}\) (giả thiết quy nạp).

Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \({3^{k + 1}} > {\left( {k + 3} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có: \({3^{k + 1}} = {3.3^k} > 3.{\left( {k + 2} \right)^2}\).

Xét hiệu \(3{\left( {k + 2} \right)^2} - {\left( {k + 3} \right)^2} = 3{k^2} + 12k + 4 - {k^2} - 6k - 9 = 2{k^2} + 6k - 5\).

Vì \(k \ge 3 \Rightarrow 2{k^2} + 6k \ge 36 \Rightarrow 2{k^2} + 6k - 5 \ge 31 > 0\,\,\forall k \ge 3\).

\( \Rightarrow 3{\left( {k + 2} \right)^2} - {\left( {k + 3} \right)^2} > 0\,\,\forall k \ge 3 \Rightarrow {3^{k + 1}} > {\left( {k + 3} \right)^2}\,\,\,\forall k \ge 3\).

Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.