Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có:
Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có:
Quảng cáo
Câu 1: \({3^n} > 3n + 1\,\,\,\left( {n \ge 2} \right)\)
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
-
Giải chi tiết:
Đặt \({3^n} > 3n + 1\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\left( {n \ge 2} \right)\).
Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \(VT = {3^2} = 9,\,\,VP = 3.2 + 1 = 7 \Rightarrow VT > VP\) (Đúng).
Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\).
Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 2\), tức là \({3^k} > 3k + 1\) (giả thiết quy nạp).
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \({3^{k + 1}} > 3k + 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có: \({3^{k + 1}} = {3.3^k} > 3\left( {3k + 1} \right) = 9k + 3 \ge 3k + 4\)
Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Câu 2: \({3^n} > {n^2} + 4n + 4\,\,\left( {n \ge 3} \right)\)
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
-
Giải chi tiết:
Đặt \({3^n} > {n^2} + 4n + 4 \Leftrightarrow {3^n} > {\left( {n + 2} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\left( {n \ge 3} \right)\).
Bước 1: Với \(n = 3\) ta có \(VT = {3^3} = 27,\,\,VP = {5^2} = 25 \Rightarrow VT > VP\) (Đúng).
Như vậy (1) đúng khi \(n = 3\).
Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 3\), tức là \({3^k} > {\left( {k + 2} \right)^2}\) (giả thiết quy nạp).
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \({3^{k + 1}} > {\left( {k + 3} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có: \({3^{k + 1}} = {3.3^k} > 3.{\left( {k + 2} \right)^2}\).
Xét hiệu \(3{\left( {k + 2} \right)^2} - {\left( {k + 3} \right)^2} = 3{k^2} + 12k + 4 - {k^2} - 6k - 9 = 2{k^2} + 6k - 5\).
Vì \(k \ge 3 \Rightarrow 2{k^2} + 6k \ge 36 \Rightarrow 2{k^2} + 6k - 5 \ge 31 > 0\,\,\forall k \ge 3\).
\( \Rightarrow 3{\left( {k + 2} \right)^2} - {\left( {k + 3} \right)^2} > 0\,\,\forall k \ge 3 \Rightarrow {3^{k + 1}} > {\left( {k + 3} \right)^2}\,\,\,\forall k \ge 3\).
Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com