Tính tổng \(T\) các nghiệm của phương trình \({\cos ^2}x = \sin x\cos x + 2\sin x - \cos x - 2\) trên

Câu hỏi số 373949:

Vận dụng

Tính tổng \(T\) các nghiệm của phương trình \({\cos ^2}x = \sin x\cos x + 2\sin x - \cos x - 2\) trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};5\pi } \right)\).

A. \(T = \dfrac{{15\pi }}{2}\)

B. \(T = \dfrac{{21\pi }}{8}\)

C. \(T = 7\pi \)

D. \(T = \dfrac{{3\pi }}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373949

Phương pháp giải

- Đưa phương trình về dạng tích.

- Giải các phương trình lượng giác cơ bản.

- Tìm nghiệm thuộc khoảng cho trước.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\cos ^2}x = \sin x\cos x + 2\sin x - \cos x - 2\\ \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x = \sin x\left( {\cos x + 2} \right) - \left( {\cos x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right) = \left( {\cos x + 2} \right)\left( {\sin x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 2 + 1 + \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {\sin x + \cos x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x + \cos x = - 3\,\,\left( {Vo\,\,nghiem\,\,do\,\,{1^2} + {1^2} < {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét \(x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};5\pi } \right)\) ta có \(\dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\pi }{2} + k2\pi < 5\pi \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{2} + 2k < 5 \Leftrightarrow 0 < k < \dfrac{9}{4}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{2};\dfrac{{9\pi }}{2}} \right\}\).

Vậy \(T = \dfrac{{5\pi }}{2} + \dfrac{{9\pi }}{2} = 7\pi \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.