Cho hàm số \(y = {x^4} - m{x^2} + 2m - 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm tất cả các giá trị

Câu hỏi số 375127:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^4} - m{x^2} + 2m - 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( C \right)\)có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành bốn đỉnh của một hình thoi.

A. Không có giá trị \(m\).

B. \(\left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 2 \\m = 2 - \sqrt 2 \end{array} \right..\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}m = 4 + \sqrt 2 \\m = 4 - \sqrt 2 \end{array} \right..\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 2 \\m = - 1 + \sqrt 2 \end{array} \right..\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:375127

Phương pháp giải

- Xác định các điểm cực trị của hàm số.

- Áp dụng tính chất hình thoi để giải tìm m.

Giải chi tiết

Hàm số \(y = {x^4} - m{x^2} + 2m - 1\) có đạo hàm là \(y' = 4{x^3} - 2mx\)

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 2mx = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{m}{2}\end{array} \right.\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \({x^2} = \dfrac{m}{2}\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow m > 0\).

Khi đó ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2m - 1\\x = \sqrt {\dfrac{m}{2}} \Rightarrow y = - \dfrac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1\\x = - \sqrt {\dfrac{m}{2}} \Rightarrow y = - \dfrac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1\end{array} \right.\).

Đặt \(A\left( {0;2m - 1} \right);\,\,B\left( {\sqrt {\dfrac{m}{2}} ; - \dfrac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right);\,\,C\left( { - \sqrt {\dfrac{m}{2}} ; - \dfrac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right)\)

Dễ thấy \(\Delta ABC\) cân tại \(A\). Để \(OBAC\) là hình thoi thì trung điểm \(OA\) của cũng là trung điểm của \(BC\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(OA \Rightarrow I\left( {0;m - \dfrac{1}{2}} \right)\).

\(I\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow - \dfrac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1 = m - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{{{m^2}}}{4} + m - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right).\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.