Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a\sqrt 3

Câu hỏi số 375137:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a\sqrt 3 .\) Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)\) là:

A. \(\dfrac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}.\)

B. \(\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.\)

C. \(\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}.\)

D. \(\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:375137

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Do tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow CH \bot AB\).

Mà \(CH \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \Rightarrow CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot SB\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(HK \bot SB\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot SB\\HK \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {CHK} \right) \Rightarrow SB \bot CK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset HK \bot SB\\\left( {SBC} \right) \supset CK \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {HK;CK} \right) = \angle HKC\).

Ta có: \(CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot HK \Rightarrow \Delta CHK\) vuông tại \(H\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow CH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Dễ thấy \(\Delta BHK \sim \Delta BSA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{SA}} = \dfrac{{BH}}{{SB}}\)

\( \Rightarrow HK = \dfrac{{SA.BH}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác vuông \(CHK\) có:

\(\tan \angle HKC = \dfrac{{HC}}{{HK}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = 2 \Rightarrow \cos \angle HKC = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\angle HKC} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\).

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.