Cho hàm số y=x4-2x2 (a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (HS tự làm). (b) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt M,N có hoành độ lần lượt là m,n. Tìm điều kiện đối với m,n để hai tiếp tuyến của (C) tại M,N song song với nhau.

Câu hỏi số 3753:

Cho hàm số y=x⁴-2x² (a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (HS tự làm). (b) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt M,N có hoành độ lần lượt là m,n. Tìm điều kiện đối với m,n để hai tiếp tuyến của (C) tại M,N song song với nhau.

A. $\left\{\begin{matrix} m^{2}+mn+n^{2}-1=0\\m<n \\m\neq \pm 1 \end{matrix}\right.$

B. $\left\{\begin{matrix} m^{2}+mn+n^{2}-1=0\\m\neq n \\m\neq \pm 1 \end{matrix}\right.$

C. m >n

D. m ≤ n

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3753

Giải chi tiết

a. học sinh tự giải

b.Gọi m,n lần lượt là hoành độ của M,N. Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M,N lần lượt là f'(m); f'(n).

f’(x)=4x³-4x

=> f’(m)=4m³-4m;

f’(n)=4n³-4n.

Khi đó tiếp tuyến tại M,N lần lượt có phương trình:

y=f'(m)(x-m)+f(m)<=> y=f'(m)x+f(m)-mf'(m);

y=f'(n)(x-n)+f(n) <=> f'(n)x+f(n)-nf'(n).

Hai tiếp tuyến tại M,N của (C) song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

f'(m)=f'(n) <=>4m³-4m=4n³-4n.

<=> (m-n)(m²+mn+n²-1)=0 (1)

Do: M $\not\equiv$ N => m≠n

Do vậy (1) <=> m²+mn+n²-1=0 (2)

Hia tiếp tuyến tại M,N trùng nhau khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{matrix} m^{2}+mn+n^{2}-1=0\\f(m)-mf'(m)=f(n)-nf'(n); m\neq n \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} m^{2}+mn+n^{2}-1=0\\-3m^{4}+2m^{2}=-3n^{4}+2n^{2}\end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} m^{2}+mn+n^{2}-1=0\\-3(m^{4}-n^{4})+2(m^{2}-n^{2})=0\end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} m^{2}+mn+n^{2}-1=0\\-3(m^{2}+n^{2})(m^{2}-n^{2})+2(m^{2}-n^{2})=0\end{matrix}\right.$ (Do m≠n)

<=> $\left\{\begin{matrix} m^{2}+mn+n^{2}-1=0\\-3(m^{2}+n^{2})(m+n)+2(m+n)=0\end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} m^{2}+mn+n^{2}-1=0 (3)\\\begin{bmatrix} m=-n\\m^{2}+n^{2}=\frac{2}{3} \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

m=-n, thay vào (3) => m²=1 => m=± 1.

Nếu m=1 thì n=-1, m=-1 thì n=1

Nếu m²+n²= $\frac{2}{3}$ , thay vào (3) => $\left\{\begin{matrix} m.n=\frac{1}{3}\\m^{2}+n^{2}=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình ta được:

m=n= $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ; m=n= $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (loại)

Kết luận: Để tiếp tuyến của (C) tại M,N song song ta phải có:

$\left\{\begin{matrix} m^{2}+mn+n^{2}-1=0\\m\neq n \\m\neq \pm 1 \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.