Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và

Câu hỏi số 375388:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mạt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là 60°. Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

D. \({a^3}\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:375388

Phương pháp giải

- Tìm chân đường cao của khối chóp đã cho.

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\), từ đó tính được chiều cao của hình chóp.

- Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

\(\Delta SAB\) cân tại S nên \(SH \bot AB\).

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(CD \Rightarrow HK \bot CD\).

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DCD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH = {60^0}\)

Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HK \Rightarrow \Delta SHK\) vuông tại \(H\).

Ta có: \(HK = AB = a \Rightarrow SH = HK.\tan \widehat {SKH} = a\sqrt 3 .\)

Vậy thể tích của khối chóp đã cho là \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.AB.AD = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.