Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp dường tròn tâm \(O\). Các đường cao
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp dường tròn tâm \(O\). Các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\). Chứng minh \(\dfrac{{AM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}} = 4\).
Quảng cáo
Áp dụng tính chất của đường cao và tỉ lệ tam giác.
Gọi \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\angle BHM = \angle AHN = {90^0} - \angle HAC\\\angle BMH = \angle BMA = \angle BCA = {90^0} - \angle HAC\end{array} \right. \Rightarrow \angle BHM = \angle BMH\)
Do đó \(\Delta BHM\)cân tại \(B \Rightarrow \) Đường cao \(BD\) đồng thời là trung tuyến.
\( \Rightarrow DH = DM\).
Chứng minh tương tự ta được: \(HE = EN,\,\,\,HF = FP\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{AM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}}\\ = \dfrac{{AD + DM}}{{AD}} + \dfrac{{BE + EN}}{{BE}} + \dfrac{{CF + FP}}{{CF}}\\ = 3 + \dfrac{{DM}}{{AD}} + \dfrac{{EN}}{{BE}} + \dfrac{{FP}}{{CF}}\\ = 3 + \dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}}\end{array}\)
Mặt khác: \(\dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\)
Vậy \(\dfrac{{AM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}} = 4\) (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
