Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) nội tiếp đường tròn tâm \(O,\,\,M\) là điểm thuộc cung

Câu hỏi số 375675:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) nội tiếp đường tròn tâm \(O,\,\,M\) là điểm thuộc cung nhỏ \(AC\) \(\left( {M \ne A,M \ne C} \right)\), \(H\) là giao điểm của \(BM\) và \(AC,\,\,K\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\).

a) Chứng minh \(CA\) là đường phân giác của \(\angle MCK\).

b) Trên tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\) tại \(A\) lấy điểm \(P\) sao cho \(C\) và \(P\) nằm cùng phía so với đường thẳng \(AB\) đồng thời thỏa mãn \(\dfrac{{AP.MB}}{{MA}} = \dfrac{{AB}}{2}\). Chứng minh \(BP\) đi qua trung điểm của \(HK\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:375675

Phương pháp giải

Các tính chất của đường tròn, tiếp tuyến, đường phân giác của một góc.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle MCA = \angle MBA\,\,\left( 1 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\))

Vì \(\angle HCB = \angle HKB = {90^0} \Rightarrow \angle HCB + \angle HKB = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(CHKB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle ACK = \angle HCK = \angle HBK = \angle MBA\,\,\,\left( 2 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\)).

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle MCA = \angle ACK\) hay \(CA\) là đường phân giác \(\angle MCK\) (đpcm).

b) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AP\)và \(BM.\)

Ta có: \(\dfrac{{AP.MB}}{{MA}} = \dfrac{{AB}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{AP.MB}}{{MA}} = OB \Leftrightarrow \dfrac{{AP}}{{MA}} = \dfrac{{OB}}{{MB}}\,\,\,\left( 3 \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle PAM + \angle MAB = \angle PAB = {90^0}\\\angle OBM + \angle MAB = {90^0}\,\,\left( {\Delta AMB\,\,vuong\,\,tai\,M} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \)\(\angle PAM = \angle OBM\)( cùng phụ với \(\angle MAB\)) (4).

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \Delta PAM \sim \Delta OBM\,\,\left( {c.g.c} \right).\)

Vì \(\Delta OBM\) cân tại \(O\) nên \(\Delta PAM\)cân tại \(P\) \( \Rightarrow \angle PAM = \angle PMA\) (hai góc ở đáy).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle PEM + \angle PAM = {90^0}\\\angle PMA = \angle PAM\end{array} \right. \Rightarrow \angle PEM + \angle PMA = {90^0}.\)

Mà \(\angle PME + \angle PMA = \angle AME = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle PEM = \angle PME \Rightarrow \Delta PME\) cân tại \(P\).

Ta có: \(\Delta PAM\) cân tại \(P \Rightarrow PA = PM\).

\(\Delta PME\) cân tại \(P \Rightarrow PM = PE\).

\( \Rightarrow P\) là trung điểm của \(AE.\)

Gọi \(HK \cap BP = \left\{ I \right\}\).

Vì \(HK\parallel AE\) nên áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HI}}{{EP}} = \dfrac{{BI}}{{BP}} = \dfrac{{IK}}{{PA}}\).

Mà \(PE = PA\,\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow HI = IK\) hay \(BP\) đi qua trung điểm của \(HK\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link