Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Gọi \(a,\,\,b\) lần lượt là hai tiếp

Câu hỏi số 376309:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Gọi \(a,\,\,b\) lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A,\,\,B.\) Một điểm \(M\) thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) với \(M\) không trùng \(A\) và \(M\) không trùng \(B.\) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) cắt \(a\) và \(b\) lần lượt tại \(C\) và \(D.\)

1) Chứng minh \(AC + BD = CD\)

2) Chứng minh tam giác \(OCD\) là tam giác vuông.

3) Chứng minh \(AC.BD\) có giá trị không đổi khi \(M\) thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376309

Phương pháp giải

1) Chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các cạnh bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh

2) Dựa vào tam giác bằng nhau suy ra các góc bằng nhau, từ đó chứng minh được \(\angle COD = {90^0}\)

3) Từ kết luận của ý 2, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.

Giải chi tiết

1) Chứng minh \(AC + BD = CD\)

Ta có: \(CA,\,\,CD\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A,\,\,M\) cắt nhau tại \(C\)

\( \Rightarrow CA = CM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có: \(BD,\,\,CD\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B,\,\,M\) cắt nhau tại \(D\)

\( \Rightarrow BD = DM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà \(CD = CM + MD \Rightarrow CD = CA + BD\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

2) Chứng minh tam giác \(OCD\) là tam giác vuông.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(CO\) là phân giác của \(\angle AOM\) và \(OD\) là phân giác của \(\angle BOM\)

Mà \(\angle AOM\) và \(\angle BOM\) là hai góc kề bù

\( \Rightarrow OC \bot OD\) hay \(\angle COD = {90^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc kề bù)

\( \Rightarrow \Delta COD\) vuông tại \(O.\) (đpcm)

3) Chứng minh \(AC.BD\) có giá trị không đổi khi \(M\) thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta OCD\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OM\) ta có:

\(O{M^2} = MC.MD.\)

Mà: \(AC = CM;\,\,MD = BD\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow AC.BD = {R^2}.\) (đpcm).

Vậy \(AC.BD\)có giá trị không đổi khi \(M\) thay đổi trên đường tròn.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link