Cho hàm số \(y = - \,{x^3} + m{x^2} + mx + 1\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Có bao nhiêu giá trị

Câu hỏi số 376329:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = - \,{x^3} + m{x^2} + mx + 1\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của \(\left( C \right)\) đi qua gốc tọa độ \(O\,?\)

A. \(0\)

B. vô số

C. \(1\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376329

Phương pháp giải

Vì hệ số góc là đạo hàm tại điểm, đạo hàm là đa thức bậc 2 nên đánh giá qua hằng đẳng thức tìm max

Viết được phương trình tiếp tuyến dựa vào \({k_{\max }},\) cho đi qua gốc \(O,\) tìm \(m\)

Giải chi tiết

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = - \,3x_0^2 + 2m{x_0} + m\)

Ta có \( - \,3x_0^2 + 2m{x_0} + m = - \,3\left( {x_0^2 - 2.{x_0}.\frac{m}{3} + \frac{{{m^2}}}{9}} \right) + \frac{{{m^2}}}{3} + m = - \,3{\left( {{x_0} - \frac{m}{3}} \right)^2} + \frac{{{m^2}}}{3} + m\)

Mà \( - \,3{\left( {{x_0} - \frac{m}{3}} \right)^2} \le 0;\,\,\forall {x_0} \in \mathbb{R}\) nên \(y'\left( {{x_0}} \right) \le \frac{{{m^2}}}{3} + m\)

Dấu bằng xảy ra khi \({x_0} = \frac{m}{3}\) nên hệ số góc lớn nhất là \({k_{\max }} = \frac{{{m^2}}}{3} + m\)

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = \left( {\frac{{{m^2}}}{3} + m} \right).\left( {x - \frac{m}{3}} \right) + \frac{{2{m^3}}}{{27}} + \frac{{{m^2}}}{3} + 1\)

Yêu cầu bài toán tương đương với: \(0 = - \,\frac{m}{3}.\left( {\frac{{{m^2}}}{3} + m} \right) + \frac{{2{m^3}}}{{27}} + \frac{{{m^2}}}{3} + 1 \Leftrightarrow \,\,m = 3\)

Vậy có duy nhất một giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.