Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\)

Câu hỏi số 376331:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\) thuộc đoạn \(\left[ { - \,10;10} \right]\) để từ điểm \(A\left( {a;2} \right)\) kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị \(\left( C \right)\)?

A. \(6\)

B. \(1\)

C. \(5\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376331

Phương pháp giải

Điều kiện để hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) tiếp xúc là hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm

Giải chi tiết

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {a;2} \right)\) với hệ số góc \(k\) có phương trình: \(y = k\left( {x - a} \right) + 2\)

Đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) nếu hệ sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 3 = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} - 3x = k\left( {x - a} \right) + 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right),\) ta được \({x^3} - 3x = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - a} \right) + 2\)\( \Leftrightarrow \,\,{x^3} - 3x - 2 = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - a} \right)\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\left[ {2{x^2} - \left( {3a + 2} \right)x + 3a + 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x = - \,1\\g\left( x \right) = 2{x^2} - \left( {3a + 2} \right)x + 3a + 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Để qua \(A\) kẻ được ba tiếp tuyến tới \(\left( C \right)\) thì \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - \,1\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( { - \,1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3a + 2} \right)^2} - 8\left( {3a + 2} \right) > 0\\2 + 3a + 2 + 3a + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}a > 2\\ - \,1 \ne a < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Kết hợp với \(a \in \left[ { - \,10;10} \right]\) và \(a \in \mathbb{Z},\) ta được 7 giá trị nguyên cần tìm

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.