Cho hàm số \(f\) xác định, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({f^2}\left( { - \,x} \right) =

Câu hỏi số 376332:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\) xác định, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn

\({f^2}\left( { - \,x} \right) = \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)f\left( {x + 2} \right)\) và \(f\left( x \right) \ne 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = 0\) là

A. \(y = - \,2x\)

B. \(y = - \,2x + 4\)

C. \(y = 2x + 4\)

D. \(y = 2x\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376332

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Đạo hàm của hàm số hợp \(y = f\left( u \right) \Rightarrow \,\,y' = u'.f'\left( u \right)\) và \(y = {f^n}\left( u \right) \Rightarrow \,\,y' = n.u'.f'\left( u \right).{f^{n\, - \,1}}\left( u \right)\)

Giải chi tiết

Xét đẳng thức \({f^2}\left( { - \,x} \right) = \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)f\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

\( \bullet \) Thay \(x = 0,\,\,x = - \,2\) vào \(\left( * \right)\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{f^2}\left( 0 \right) = 4.f\left( 2 \right)\\{f^2}\left( 2 \right) = 4.f\left( 0 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 4,\) vì \(f\left( 0 \right) \ne 0.\)

\( \bullet \) Đạo hàm hai vế của \(\left( * \right),\) ta được \({\left[ {{f^2}\left( { - \,x} \right)} \right]^{\,\prime }} = {\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)f\left( {x + 2} \right)} \right]^{\,\prime }}\)

\( \Leftrightarrow \, - \,2f\left( { - \,x} \right).f'\left( { - \,x} \right) = \left( {2x + 2} \right)f\left( {x + 2} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)f'\left( {x + 2} \right)\) \(\left( {\rm I} \right).\)

\( \bullet \) Thay \(x = 0,\,\,x = - \,2\) vào \(\left( {\rm I} \right),\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \,2f\left( 0 \right).f'\left( 0 \right) = 2f\left( 2 \right) + 4f'\left( 2 \right)\\ - \,2f\left( 2 \right).f'\left( 2 \right) = - \,2f\left( 0 \right) + 4f'\left( 0 \right)\end{array} \right.\)

Mà \(f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 4\) nên suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - \,8f'\left( 0 \right) = 8 + 4f'\left( 2 \right)\\ - \,8f'\left( 2 \right) = - \,8 + 4f'\left( 0 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = - \,2\\f'\left( 2 \right) = 2\end{array} \right..\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = 0\) là

\(y - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y - 4 = - \,2x \Leftrightarrow y = - \,2x + 4.\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.