Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thang lớn \(AD\). Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm

Câu hỏi số 376400:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thang lớn \(AD\). Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SD.\)

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right);\left( {SAD} \right),\left( {SBC} \right).\)

b) Chứng minh \(EF\parallel \left( {ABCD} \right);EF\parallel \left( {SBC} \right).\)

c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AB,CD.\) Tìm \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(SB,\left( {CDE} \right);SC,(EFM).\) Từ đó, tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {KEF} \right)\).

d) Cho \(AD = 2BC.\) Tính tỉ số diện tích của tam giác \(KMN\) và tam giác \(KEF\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376400

Phương pháp giải

a) Xác định các điểm chung của hai mặt phẳng.

b) Chứng minh \(EF\) song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

c) Tìm giao điểm của \(SB\) với một đường thẳng nằm trong \(\left( {CDE} \right)\) và tìm giao điểm cả \(SC\) với một đường thẳng nằm trong \(\left( {EFM} \right)\). Từ đó suy ra thiết diện.

d) Sử dụng công thức: \(\dfrac{{{S_{KMN}}}}{{{S_{KEF}}}} = \dfrac{{KM}}{{KE}}.\dfrac{{KN}}{{KF}}\).

Giải chi tiết

a) * Tìm \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = ?\)

+ Dễ thấy \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset SBD \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) \( \Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai.

Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

* Tìm \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = ?\).

+ Dễ thấy \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \supset AD\\\left( {SBC} \right) \supset BC\\AD\parallel BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAD} \right),\,\,\left( {SBC} \right)\) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AD,\,\,BC\).

Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ đường thẳng \(d\) qua \(S\) và \(d\parallel AD\parallel BC \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\).

b) Ta có: \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta SAD\) nên \(EF\parallel AD\) (Tính chất đường trung bình của tam giác).

Mà \(AD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow EF\parallel \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(EF\parallel AD\), mà \(AD\parallel BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow EF\parallel BC\).

Lại có \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow EF\parallel \left( {SBC} \right)\).

c) Trong \(\left( {SAB} \right)\) gọi \(M = EK \cap SB\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in SB\\M \in EK \subset \left( {CDE} \right) \Rightarrow M \in \left( {CDE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M = SB \cap \left( {CDE} \right)\).

Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(N = FK \cap SC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in SC\\N \in FK \subset \left( {EFM} \right) \Rightarrow M \in \left( {EFM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N = SC \cap \left( {EFM} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {KEF} \right) \cap \left( {SAB} \right) = EM\\\left( {KEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\\\left( {KEF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NF\\\left( {KEF} \right) \cap \left( {SAD} \right) = EF\end{array} \right. \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {KEF} \right)\)là tứ giác\(EMNF\).

d) Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác \(FKD\) ta có: \(\dfrac{{CD}}{{CK}}.\dfrac{{NK}}{{NF}}.\dfrac{{SF}}{{SD}} = 1\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{KC}}{{KD}} = \dfrac{{BC}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow C\) là trung điểm của \(KD \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{CD}} = 1\).

\(F\) là trung điểm của \(SD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \dfrac{{SF}}{{SD}} = \dfrac{1}{2}\).

\( \Rightarrow 1.\dfrac{{NK}}{{NF}}.\dfrac{1}{2} = 1 \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{NF}} = 2\)

Tương tự ta có: \(\dfrac{{MK}}{{ME}} = 2\).

Suy ra \(\dfrac{{{S_{KMN}}}}{{{S_{KEF}}}} = \dfrac{{KM}}{{KE}}.\dfrac{{KN}}{{KF}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}.\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.