Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = 3,\,\,AB = 1,\,\,AC = 2,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(O\) là tâm

Câu hỏi số 376413:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = 3,\,\,AB = 1,\,\,AC = 2,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Mặt cầu tâm \(O\) và qua \(A\) cắt các tia \(SB,\,\,SC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Khi đó độ dài đoạn \(BC\) không thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(S.ADE\).

A. \(\dfrac{{81}}{{130}}\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac{1}{4}\)

D. \(\dfrac{{87}}{{130}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376413

Phương pháp giải

- Tính tỉ số thể tích giữa khối chóp \(S.ADE\) và khối chóp \(S.ABC\)

- Tính thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABC\) để suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABC\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {10} \\SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {13} \end{array} \right.\).

Gọi \(AM\) là đường kính lớn của mặt cầu ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MB \bot AB\\MB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MB \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MB \bot AD\\AD \bot DM \Rightarrow AD \bot \left( {SBM} \right) \Rightarrow AD \bot SB\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(S{A^2} = SD.SB \Leftrightarrow \dfrac{{SD}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{9}{{10}}\).

Tương tự ta cũng có: \(\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{9}{{13}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.ADE}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{{81}}{{130}} \Leftrightarrow {V_{S.ADE}} = \dfrac{{81}}{{130}}{V_{S.ABC}}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{6}.SA.AB.AC.\sin A \le \dfrac{1}{6}.SA.AB.AC = 1\\ \Rightarrow {V_{S.ADE}} \le \dfrac{{81}}{{130}}\end{array}\)

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ADE\) là \(\dfrac{{81}}{{130}}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.