Cho \(a \ge 1;\,\,b \ge 1;\,\,c \ge 1\) và thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{ac}}\left( {{b^2} + 1}

Câu hỏi số 376414:

Vận dụng cao

Cho \(a \ge 1;\,\,b \ge 1;\,\,c \ge 1\) và thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{ac}}\left( {{b^2} + 1} \right) + {\log _{2bc}}a = \dfrac{2}{3}\\{\log _{2ab}}c \le 1\end{array} \right.\). Tính \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}.\)

A. \(\dfrac{{21}}{{16}}\)

B. \(6\)

C. \(21\)

D. \(\dfrac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376414

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình đã cho kết hợp sử dụng bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{2ab}}c \le 1\\a;b;c \ge 1\end{array} \right. \Rightarrow c \le 2ab = a.2b \le a\left( {{b^2} + 1} \right)\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}c = 2ab\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c = 2a\end{array} \right.\)

Thay vào phương trình đầu ta được:

\(\begin{array}{l}{\log _{2{a^2}}}2 + {\log _{4a}}a = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\log }_2}\left( {2{a^2}} \right)}} + \dfrac{1}{{{{\log }_a}\left( {4a} \right)}} = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + 2{{\log }_2}a}} + \dfrac{1}{{1 + {{\log }_a}4}} = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + 2{{\log }_2}a}} + \dfrac{1}{{1 + 2{{\log }_a}2}} = \dfrac{2}{3}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}a\), khi đó phương trình (1) trở thành:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{1 + 2t}} + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{2}{t}}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + 2t}} + \dfrac{t}{{t + 2}} = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{t + 2 + t + 2{t^2}}}{{2{t^2} + 5t + 2}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 6{t^2} + 6t + 6 = 4{t^2} + 10t + 4\\ \Leftrightarrow 2{t^2} - 4t + 2 = 0 \Leftrightarrow 2{\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow {\log _2}a = 1 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow c = 4\end{array}\)

Vậy \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {2^2} + {1^2} + {4^2} = 21.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.