1) Tìm các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện: \({x^2} - 6xy + 10{y^2} = 2\left(

Câu hỏi số 376493:

Vận dụng

1) Tìm các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện: \({x^2} - 6xy + 10{y^2} = 2\left( {x - 5y} \right)\).

2) Cho hai số tự nhiên \(a,\,\,b\) thỏa mãn: \(2{a^2} + a = 3{b^2} + b\). Chứng minh rằng: \(2a + 2b + 1\) là số chính phương.

A. \(1)\,\,S = \left\{ {\left( { - 10; - 3} \right);\left( { - 6; - 3} \right);\left( { - 4; - 1} \right);\left( {0; - 1} \right);\left( {0;0} \right);\left( {2;0} \right)} \right\}\)

B. \(1)\,\,S = \left\{ {\left( { - 10;3} \right);\left( { - 6;3} \right);\left( { - 4; - 1} \right);\left( {0; - 1} \right);\left( {0;0} \right);\left( {2;0} \right)} \right\}\)

C. \(1)\,\,S = \left\{ {\left( { - 10; - 3} \right);\left( { - 6; - 3} \right);\left( { - 4;1} \right);\left( {0;1} \right);\left( {0;0} \right);\left( {2;0} \right)} \right\}\)

D. \(1)\,\,S = \left\{ {\left( { - 10;3} \right);\left( { - 6;3} \right);\left( { - 4;1} \right);\left( {0;1} \right);\left( {0;0} \right);\left( {2;0} \right)} \right\}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376493

Phương pháp giải

1) Coi phương trình là phương trình bậc hai một ẩn \(x\), \(y\) là tham số, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

2) Chứng minh tích hai số \(a - 1\) và \(2a + 2b + 1\) là số chính phương và hai số này là nguyên tố cùng nhau.

Giải chi tiết

1) Ta có: \({x^2} - 6xy + 10{y^2} = 2\left( {x - 5y} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 6xy + 10{y^2} - 2x + 10y = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {1 + 3y} \right)x + 10{y^2} + 10y = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Để tồn tại \(x\) thỏa mãn (1) thì phương trình (1) có nghiệm.

Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn \(x\), tham số \(y\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {1 + 3y} \right)^2} - 10{y^2} - 10y \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 + 6y + 9{y^2} - 10{y^2} - 10y \ge 0\\ \Leftrightarrow {y^2} + 4y - 1 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} \le 5\\ \Leftrightarrow \left| {y + 2} \right| \le \sqrt 5 \Leftrightarrow - 2 - \sqrt 5 \le y \le - 2 + \sqrt 5 \end{array}\)

Vì \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\)

+ Với \(y = - 4\) ta có: \({x^2} + 20x + 120 = 0\) (Vô nghiệm).

+ Với \(y = - 3\) ta có \({x^2} + 16x + 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 10\\x = - 6\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

+ Với \(y = - 2\) ta có \({x^2} + 10x + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5 + \sqrt 5 \\x = - 5 - \sqrt 5 \end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)

+ Với \(y = - 1\) ta có: \({x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 0\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

+ Với \(y = 0\) ta có: \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là:

\(S = \left\{ {\left( { - 10; - 3} \right);\left( { - 6; - 3} \right);\left( { - 4; - 1} \right);\left( {0; - 1} \right);\left( {0;0} \right);\left( {2;0} \right)} \right\}\).

2) Ta có: \(2{a^2} + a = 3{b^2} + b\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{a^2} - 2{b^2} + a - b = {b^2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right) = {b^2}\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {2a + 2b + 1} \right) = {b^2}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 2b + 1 > 0\,\,\forall a,\,\,b \in \mathbb{N}\\{b^2} \ge 0\,\,\forall b \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Rightarrow a - b \ge 0 \Leftrightarrow a \ge b\).

Đặt: \(\left( {a - b;2a + 2b + 1} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b\,\, \vdots \,\,d\\2a + 2b + 1\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {2a + 2b + 1} \right)\,\, \vdots \,\,{d^2} \Rightarrow {b^2}\,\, \vdots \,\,{d^2} \Rightarrow b\,\, \vdots \,\,d\)

Mà \(a - b\,\, \vdots \,\,d\, \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow 2a + 2b\,\, \vdots \,\,d\)

Kết hợp \(2a + 2b + 1\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow d = 1\).

Do đó \(\left( {a - b;2a + 2b + 1} \right) = 1\)

Từ (*) \( \Rightarrow a - 1\) và \(2a + 2b + 1\) là các số chính phương (đpcm).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link