Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^4} - \left( {2m + 4} \right){x^2} + 2m + 3 = 0\) có

Câu hỏi số 377600:

Vận dụng

Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^4} - \left( {2m + 4} \right){x^2} + 2m + 3 = 0\) có \(4\) nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) thỏa mãn \(\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} + \frac{1}{{x_3^2}} + \frac{1}{{x_4^2}} - \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} = 5.\)

A. \(m = \frac{4}{3}.\)

B. \(m = - \frac{4}{3}.\)

C. \(m = - \frac{3}{4}.\)

D. \(m = \frac{3}{4}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:377600

Phương pháp giải

Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right).\) Phương trình bài cho có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình ẩn \(t\) có hai nghiệm dương phân biệt.

Áp dụng định lý Vi-et và biểu thức bài cho để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

\({x^4} - \left( {2m + 4} \right){x^2} + 2m + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2\left( {m + 2} \right){x^2} + 2m + 3 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đặt \({x^2} = t\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) phương trình trở thành \({t^2} - 2\left( {m + 2} \right)t + 2m + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

\(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {2m + 3} \right) = {m^2} + 4m + 4 - 2m - 3 = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \,\,\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\2m + 4 > 0\\2m + 3 > 0\end{array} \right.\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\2m > - 4\\2m > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m > - 2\\m > - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m > - \frac{3}{2}\end{array} \right..\)

Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt {{t_1}} \\{x_2} = - \sqrt {{t_1}} \\{x_2} = \sqrt {{t_2}} \\{x_2} = - \sqrt {{t_2}} \end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} + \frac{1}{{x_3^2}} + \frac{1}{{x_4^2}} - \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} = 5\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_2}}} + \frac{1}{{{t_2}}} - \frac{1}{{\sqrt {{t_1}} .\left( { - \sqrt {{t_1}} } \right).\sqrt {{t_2}} .\left( { - \sqrt {{t_2}} } \right)}} = 5\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{t_1}}} + \frac{2}{{{t_2}}} - \frac{1}{{{t_1}{t_2}}} = 5\\ \Leftrightarrow 2\left( {{t_1} + {t_2}} \right) - 1 = 5{t_1}{t_2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {2m + 4} \right) - 1 = 5\left( {2m + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 4m + 8 - 1 = 10m + 15\\ \Leftrightarrow 6m = - 8 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = - \frac{4}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.