Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, biết \(AB\) song song với \(CD\) và \(AB = 2CD\),

Câu hỏi số 377757:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, biết \(AB\) song song với \(CD\) và \(AB = 2CD\), \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\).

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

b) Xác định giao điểm của \(SC\) và \(\left( {AMN} \right)\).

c) Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta SBC\). Chứng minh rằng \(OG\) song song với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:377757

Phương pháp giải

a) Xác định giao tuyến dựa vào yếu tố song song.

b) Chọn \(SC \subset \left( {SAC} \right)\), xác định giao tuyến \(\Delta = \left( {AMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\). Khi đó giao điểm của \(SC\) và \(\left( {AMN} \right)\) chính là giao điểm của \(SC\) và \(\Delta \).

c) \(d\parallel a \subset \left( P \right) \Rightarrow d\parallel \left( P \right)\).

Giải chi tiết

a) Xét \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có:

+ \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \supset AB\\\left( {SCD} \right) \supset CD\\AB\parallel CD\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AB,\,\,CD\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và \(d\parallel AB\parallel CD\).

Vậy \(d = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

b) Chọn \(SC \subset \left( {SAC} \right)\), tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {AMN} \right)\).

+ \(A\) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(I = MN \cap SO\) ta có: \(I \in SO \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(E = AI \cap SC\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}E \in AI \subset \left( {AMN} \right) \Rightarrow E \in \left( {AMN} \right)\\E \in SC\end{array} \right. \Rightarrow E = SC \cap \left( {AMN} \right)\).

c) Gọi \(K\) là trung điểm của \(SC\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC \Rightarrow G \in BK\) và \(\dfrac{{BG}}{{BK}} = \dfrac{2}{3}\) (Tính chất trọng tâm).

Do \(AB\parallel CD\,\,\left( {gt} \right)\) , áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{BO}}{{OD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{BO}}{{BD}} = \dfrac{2}{3}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{BG}}{{BK}} = \dfrac{{BO}}{{BD}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow OG\parallel DK\) (Định lí Ta-lét đảo).

Mà \(DK \subset \left( {SCD} \right)\). Vậy \(OG\parallel \left( {SCD} \right)\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.